3.1 Nombres réels

La définition de $R$ ne relève pas de l'algèbre mais de l'analyse. En effet, un nombre réel apparaît comme la limite d'une suite adéquate de nombres rationnels. On se contente donc ici de rappeler les propriétés algébriques fondamentales de $R$.

THEOREM 3.1   $R$ est archimédien, i.e. :

\begin{displaymath}
\forall a\in {\large R},\forall x\in {\large R}^{*},\exists n\in {\large N},a\leq nx.
\end{displaymath}

Démonstration : évident et fondamental

R est aussi archimédien pour la multiplication :

\begin{displaymath}
\forall a\in {\large R},\forall x\in {\large R},\forall x>1
,\exists n\in {\large N},a\leq nx.
\end{displaymath}

Comme R est totalement ordonné, on peut définir $\forall
x\in R$, $\left\vert x\right\vert =\max (x,-x)$ qui se lit valeur absolue. On a alors :

\begin{eqnarray*}
\forall x &\in &{\large R},\left\vert x\right\vert \geq 0\text...
...ght\vert \leq \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert .
\end{eqnarray*}



THEOREM 3.2 (de la borne supérieure)  

  1. Toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure.

  2. Toute partie de R non vide et minorée admet une borne inférieure.

Démonstration : admis

C'est en cela que R est convenable, car $A=\{x\in Q_{+}^{*}$ / $
x^{2}<2\}$ est une partie non vide et majorée de Q mais sans borne supérieure dans Q, alors que A est a fortiori majorée dans R et admet dans R une borne supérieure, à savoir justement $
\sqrt{2}$.

THEOREM 3.3 (des segments emboîtés)  

Soit $(T_{n})_{n\in N}$, où $T_{n}=\left[ a_{n},b_{n}\right] $, une suite d'intervalles fermés bornés, non vides de R; si $(T_{n})_{n\in N}$ est décroissante (i.e. si $\forall n\in N,$ $
T_{n+1}\subset T_{n}$), alors $\cap _{n\in N}T_{n}$ est non vide. Si, de plus, $\lim_{n\rightarrow +\infty }(b_{n}-a_{n})=0$ alors cette intersection se réduit à un point.

Démonstration : conséquence du précédent

Ce théorème est faux pour le corps Q, en prenant par exemple pour a$_{n}$ et b$_{n}$ les valeurs approchées par défaut et par excès de $
\sqrt{2}$ à $10^{-n}$ près.