1.2 Propriétés et inégalités

1.2.1 Propriétés

On considèrera ici des fonctions f à valeurs réelles continues par morceaux (CM), définies sur un intervalle [a,b].

1.2.1.1 Linéarité

L'application $${ f \mapsto \int_{a}^{b} f }$$ est linéaire de CM dans R.

1.2.1.2 Additivité

si $a=c_0 < c_1 < \cdots <c_n =b$ et $f \in CM$,alors

$$\int_{a}^{b} f = \sum_{i=1}^{n} \int_{c_{i-1}}^{c_i} f$$

1.2.1.3 Positivité et croissance

1.

si $f \in CM$ est positive sur [a,b], $${ \int_{a}^{b} f \geq 0}$$.

2.

par suite si $(f,g) \in CM^2$ et $f \geq g$ sur [a,b] alors $${ \int_{a}^{b} f \geq \int_{a}^{b} g }$$.

3.

en particulier $\forall f \in CM$, $${\left\vert \int_{a}^{b} f \right\vert \leq \int_{a}^{b} \vert f\vert }$$.

1.2.1.4 Cas des intégrales de fonctions positives

si $f \in C([a,b], R)$ est positive, on a

$$\int_{a}^{b} f =0 \iff f=0$$

Preuve : si $\exists x_0 \in [a,b] \qquad f(x_0 ) >0$
alors $\exists [\alpha , \beta] \subset [a,b] , \alpha \neq \beta \textrm{ et } x_0 \i... ...rm{ tel que } \forall x \in [\alpha , \beta] \qquad f(x) \geq \frac{1}{2}f(x_0)$.
Alors on a :

$$\int_{a}^{b} f \geq \int_{\alpha}^{\beta} f \geq (\beta - \alpha) \frac{f(x_0)}{2}>0$$

1.2.2 Inégalités fondamentales

1.2.2.1 Inégalité de la moyenne

Si $(f,g) \in CM^2$, g positive sur [a,b] et si $\exists (m,M) \in R^2 , \forall x \in [a,b], m \leq f(x) \leq M$, alors :

$$m\int_{a}^{b} g \leq \int_{a}^{b} fg \leq M \int_{a}^{b} g$$

Preuve : $\forall x \in [a,b],\quad m \leq f(x) \leq M$ et comme g est positive sur [a,b], on peut multiplier chaque membre de ces inégalités par g(x) pour obtenir :

$$\forall x \in [a,b],\quad mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x)$$

puis en intégrant entre a et b cette succession d'inégalités, on aboutit à :

$$m\int_{a}^{b} g \leq \int_{a}^{b} fg \leq M \int_{a}^{b} g$$

1.2.2.2 Conséquence : Egalité de la moyenne

Si on suppose de plus que f est continue sur [a,b], alors :

$$\exists c \in [a,b], \quad \int_{a}^{b} fg = f(c) \int_{a}^{b} g$$

Preuve : la fonction $t \mapsto f(t) \displaystyle{ \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x}$ est continue comme f. Elle prend donc toutes les valeurs comprises entre ses bornes qui sont $m \displaystyle{\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x}$ et $${M \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x}$$ (théorème des valeurs intermédiaires). D'après ce qui précède, il existe donc c dans [a,b] tel que $${ \int_{a}^{b} fg = f(c) \int_{a}^{b} g }$$.

1.2.2.3 Inégalité de Cauchy Schwarz

Soit f et g deux fonctions de CM, on a l'inégalité suivante :

$$\left( \int_{a}^{b} \vert f(x)g(x)\vert \mathrm{d}x \right) ^... ...int_{a}^{b} f^2(x) \mathrm{d}x \int_{a}^{b} g^2 (x) \mathrm{d}x$$

Preuve :
On considère la fonction $t \mapsto \displaystyle{\int_{a}^{b} (t\vert g(x)\vert + \vert f(x)\vert)^2 \ma... ...rt f(x)g(x)\vert \mathrm{d}x }+ \displaystyle{\int_{a}^{b} f^2(x) \mathrm{d}x}$ qui est :

1.

dans le cas $${\int_{a}^{b} g^2(x) \mathrm{d}x =0}$$ une fonction affine toujours positive donc nécessairement constante, ce qui implique

$$\int_{a}^{b} \vert f(x)g(x)\vert \mathrm{d}x =0$$

et on a alors bien $0 \leq 0$.

2.

dans le cas $${\int_{a}^{b} g^2(x) \mathrm{d}x \neq 0}$$ une fonction trinôme du second degré toujours positive ou nulle donc de discriminant négatif ou nul, ce qui s'écrit :

$$\left( \int_{a}^{b} \vert f(x)g(x)\vert \mathrm{d}x \right)^2... ...^{b} f^2(x) \mathrm{d}x \int_{a}^{b} g^2(x) \mathrm{d}x \leq 0$$

et qui donne l'inégalité ci-dessus.

1.2.3 Méthodes de calcul d'intégrales

Théorème 7 ( de changement de variable)   Soit I et J deux intervalles de R, $\varphi$ une fonction de classe C¹ de I dans J, f une application continue de I dans R. Alors si $(a,b) \in I^2$, on a :

$$\int_{a}^{b} \varphi'(x) f(\varphi(x)) \mathrm{d}x = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \mathrm{d}x$$

Preuve : Soit F une primitive de f sur J. Comme $(F \circ \varphi)'=\varphi' \times f \circ \varphi$, l'application $F \circ \varphi$ est donc de classe C¹ sur I, de dérivée $\varphi' \times f \circ \varphi$ et on obtient donc

$$\int_{a}^{b} \varphi'(x) f(\varphi(x)) \mathrm{d}x = F \circ ... ... \varphi(a) = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \mathrm{d}x$$

Exemple :
Calcul de l'intégrale

$$\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x}$$

(on n'oubliera pas de préciser pour quelles valeurs de a et b le calcul a un sens)
Résolution :
Pour $[a,b] \subset ]k \pi , (k+1) \pi[$, la suite d'égalités suivante est valide.

$$\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} \mathrm{d}x = \int_{a... ...hrm{d}x \\ =\int_{a}^{b} \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} \mathrm{d}x$$

et en posant $\varphi (x) = \cos x$ donc $\varphi' (x)=-\sin x$, on obtient :

$$\int_{\cos a}^{\cos b} \frac{\mathrm{d}x}{x^2 -1} = \int_{\c... ... \vert x-1\vert - \ln \vert x+1\vert \right]_{\cos a}^{\cos b}$$

Or $\ln \vert\cos (x)-1\vert - \ln \vert\cos (x)+1\vert = \displaystyle{\ln \frac{1... ...}{1 + \cos (x)} =\ln \frac{\sin^2 x/2}{\cos^2 x/2} = \ln \tan^2 \frac{x}{2} }$ et donc finalement :

$$\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} \mathrm{d}x = \ln \vert\tan \frac{b}{2}\vert -\ln \vert\tan \frac{a}{2}\vert$$

Théorème 8 (d'intégration par parties)   Si u et v sont deux fonctions de C¹ ([a,b]) alors on a :

$$\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \mathrm{d}x = u(b)v(b)-u(a)v(a) -\int... ...[ u(x)v(x) \right]_{a}^{b} -\int_{a}^{b} u(x)v'(x) \mathrm{d}x$$

Preuve :

$$\int_{a}^{b} \left( u'(x)v(x) +u(x)v'(x) \right) \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} (uv)'(x) \mathrm{d}x = u(b)v(b)-u(a)v(a)$$

ce qui est la formule annoncée.