1.3 Calcul de primitives

Soit I un intervalle de R d'intérieur non vide. Soit $f \in C^{0}(I,R)$. Alors f admet des primitives qui sont les fonctions de la forme $x \mapsto F(x) +c$ où F est l'une d'entre elles que nous conviendrons de noter $${ \int f(x) \mathrm{d}x }$$.

1.3.1 Techniques usuelles

1.3.1.1 Changement de variable

Exemples :

1.

$$\int \tan x \mathrm{d}x = \int \frac{\sin x}{\cos x} \mathrm... ...int \frac{\mathrm{d}(\cos x)}{\cos x} = - \ln \vert\cos x\vert$$

sur les intervalles où $\cos$ ne s'annule pas (on s'est ramené ici à la primitive connue $${ \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln \vert x\vert }$$).

2.

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{\cosh x} = 2 \int \frac{e^{x} \mathr... ...\frac{ \mathrm{d}(e^{x}) }{ (e^{x})^{2} +1 } = 2 \arctan e^{x}$$

(on s'est ramené à la primitive $${ \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \arctan x }$$).

1.3.1.2 Intégration par parties

Cette technique est à envisager dès qu'on est en présence de fonctions transcendantes ($\ln$, $\arctan$, $\arcsin$, ...) ayant une dérivée de type algébrique.
Exemple

$$\int \ln x \mathrm{d}x = x \ln x - \int x\frac{1}{x} \mathrm{d}x = x \ln x -x$$

$$\int \arctan x \mathrm{d}x = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \mathrm{d}x = x \arctan x -\frac{1}{2} \ln (1+x^2)$$

1.3.2 Calcul de primitives de fractions rationnelles réelles

1.3.2.1 Cas particulier

$${\int \frac{P'(x)}{(P(x))^n} \mathrm{d}x }$$, $n \in \mathbb{N}, P \in P[X]$
(Rappel P[X] désigne l'ensemble des polynômes à une indeterminée sur R. De même, on notera P(X), celui des fractions rationnelles à une indeterminée sur R)

1.

si n=1, $${\int \frac{P'(x)}{P(x)} \mathrm{d}x }= \ln \vert P(x)\vert$$ sur tout intervalle sur lequel P ne s'annule pas.

2.

si n>1, $${\int \frac{P'(x)}{(P(x))^n} \mathrm{d}x =\frac{1}{1-n} \frac{1}{(P(x))^{n-1}} }$$ sur tout intervalle sur lequel P ne s'annule pas.

1.3.2.2 Cas général

i)

On décompose en éléments simples de R(X).

ii)

On cherche une primitive de chaque terme.

• la partie entière est un polynôme
• les éléments simples de première espèce :
  
  $$\int \frac{1}{x-a} \mathrm{d}x = \ln \vert x-a\vert$$
  
  
  
  
  $$\int \frac{1}{(x-a)^n} \mathrm{d}x = \frac{1}{1-n} \frac{1}{(x-a)^{n-1}} \qquad \textrm{ pour } n \in N, n \geq 2$$
  
  
  Exemple :
  
  $$\begin{eqnarray*} \int \frac{t+1}{t(t-1)^2} \mathrm{d}t &= &\int \left( \frac{1}... ...\ &=& \ln \left\vert \frac{t}{t-1} \right\vert - \frac{2}{t-1} \end{eqnarray*}$$
  
  sur l'un des intervalles $]-\infty,0[$, ]0,1[ ou $]1,+ \infty [$.
• les éléments simples de seconde espèce :
  
  $$\frac{ax+b}{(x^2 +px +q )^n} = \frac{a}{2} \frac{2x+p}{(x^2... ...+q)^n} + \left(b-\frac{ap}{2} \right) \frac{1}{(x^2 +px +q)^n}$$
  
  
  Le premier terme s'intègre immédiatement.
  Le second se ramène à $${ J_n = \int \frac{1}{(t^2 +1)^n} \mathrm{d}t }$$, $n \in N^*$ en mettant le trinôme sous forme canonique et en effectuant le changement de variable approprié. (Rappel : $N^* =\{1,2, \cdots \}$)

1.3.2.3 Exercice

: on se propose de donner ici deux méthodes de calcul de l'intégrale J_n définie ci-dessus.

1)

Calculer J_n par récurrence :

i)

Calculer J₁.

ii)

Exprimer J_n en fonction de J_n+1.

iii)

En utilisant une intégration par parties, montrer que :

$$J_n = J_{n+1} - \frac{1}{2n} \frac{t}{(1+t^2)^n} + \frac{1}{2n}J_n$$

et en déduire une relation de récurrence entre J_n+1 et J_n.

2)

Calculer J_n par changement de variable :
Poser $t= \tan u$ pour montrer que le calcul de J_n se ramène au calcul de $${ \int \cos^{2(n-1)} u \mathrm{d}u }$$. Il reste donc à linéariser cette dernière intégrale.

Exemple :

$$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x^3 +1 } \mathrm{d}x &=& \int \frac{1}{3} \left(... ...\frac{\mathrm{d}x}{\left( x-\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$$

Posons $${x-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} }{2} t }$$, il vient alors :

$$\begin{eqnarray*} \int \frac{\mathrm{d}x}{x^3+1} &=& \frac{1}{6} \ln \frac{(x+1)... ...)^2}{x^2-x+1} + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$$

1.3.3 Calcul de primitives de fractions rationnelles en e^x ou en $(\cos x , \sin x)$

1)

$\int F\left(e^x \right) \mathrm{d}x$, $F \in R(X)$.
Le changement de variable e^x = t nous ramène directement à la recherche d'une primitive de fraction rationnelle en t :

$$\int F\left(e^x \right) \mathrm{d}x = \int F(t) \frac{\mathrm{d}t}{t}$$

2)

$\int F(\cos x , \sin x) \mathrm{d}x$, $F \in R(X,Y)$.

i)

Cas particulier du polynôme en $\cos x$ et $\sin x$.
La linéarité de l'intégrale nous ramène au calcul des intégrales de type

$$I_{m,n} = \int \cos^m x \sin^n x \mathrm{d}x \qquad (m,n) \in N^2$$

$\bullet$ si m est pair, on pose $t =\sin x$.
$\bullet$ si n est impair, on pose $t = \cos x$.
On est alors ramené à un polynôme en t.
$\bullet$ si M et n sont pairs, on peut linéariser le produit au moyen des exponentielles complexes.

$$\left( \cos \theta = \frac{ e^{i \theta}+e^{-i \theta} }{2},\sin \theta = \frac{ e^{i \theta}-e^{-i \theta} }{2i} \right)$$

On peut aussi essayer d'obtenir (comme pour les intégrales de Wallis par exemple) des relations de récurrence.

ii)

Cas général :
On dispose d'une règle générale :

i)

Cas particulier du polynôme en $\cos x$ et $\sin x$.
La linéarité de l'intégrale nous ramène au calcul des intégrales de type

$$I_{m,n} = \int \cos^m x \sin^n x \mathrm{d}x \qquad (m,n) \in N^2$$

$\bullet$ si m est pair, on pose $t =\sin x$.
$\bullet$ si n est impair, on pose $t = \cos x$.
On est alors ramené à un polynôme en t.
$\bullet$ si M et n sont pairs, on peut linéariser le produit au moyen des exponentielles complexes.

$$\left( \cos \theta = \frac{ e^{i \theta}+e^{-i \theta} }{2},\sin \theta = \frac{ e^{i \theta}-e^{-i \theta} }{2i} \right)$$

On peut aussi essayer d'obtenir (comme pour les intégrales de Wallis par exemple) des relations de récurrence.

ii)

Cas général :
On dispose d'une règle générale :

[1)] $\int F\left(e^x \right) \mathrm{d}x$, $F \in R(X)$.
Le changement de variable e^x = t nous ramène directement à la recherche d'une primitive de fraction rationnelle en t :

$$\int F\left(e^x \right) \mathrm{d}x = \int F(t) \frac{\mathrm{d}t}{t}$$

[2)] $\int F(\cos x , \sin x) \mathrm{d}x$, $F \in R(X,Y)$.

i)

Cas particulier du polynôme en $\cos x$ et $\sin x$.
La linéarité de l'intégrale nous ramène au calcul des intégrales de type

$$I_{m,n} = \int \cos^m x \sin^n x \mathrm{d}x \qquad (m,n) \in N^2$$

$\bullet$ si m est pair, on pose $t =\sin x$.
$\bullet$ si n est impair, on pose $t = \cos x$.
On est alors ramené à un polynôme en t.
$\bullet$ si M et n sont pairs, on peut linéariser le produit au moyen des exponentielles complexes.

$$\left( \cos \theta = \frac{ e^{i \theta}+e^{-i \theta} }{2},\sin \theta = \frac{ e^{i \theta}-e^{-i \theta} }{2i} \right)$$

On peut aussi essayer d'obtenir (comme pour les intégrales de Wallis par exemple) des relations de récurrence.

ii)

Cas général :
On dispose d'une règle générale :

[i)] Cas particulier du polynôme en $\cos x$ et $\sin x$.
La linéarité de l'intégrale nous ramène au calcul des intégrales de type

$$I_{m,n} = \int \cos^m x \sin^n x \mathrm{d}x \qquad (m,n) \in N^2$$

$\bullet$ si m est pair, on pose $t =\sin x$.
$\bullet$ si n est impair, on pose $t = \cos x$.
On est alors ramené à un polynôme en t.
$\bullet$ si M et n sont pairs, on peut linéariser le produit au moyen des exponentielles complexes.

$$\left( \cos \theta = \frac{ e^{i \theta}+e^{-i \theta} }{2},\sin \theta = \frac{ e^{i \theta}-e^{-i \theta} }{2i} \right)$$

On peut aussi essayer d'obtenir (comme pour les intégrales de Wallis par exemple) des relations de récurrence. [ii)] Cas général :
On dispose d'une règle générale :

1.3.3.1 Régle de Bioche

Si la forme différentielle $F(\cos x, \sin x) \mathrm{d}x$ est invariante par le changement :
$\bullet$ de x en -x, poser $t = \cos x$
$\bullet$ de x en $\pi -x$, poser $t =\sin x$
$\bullet$ de x en $\pi + x$, poser $t = \tan x$
Sinon, poser $t = \tan \frac{x}{2}$
On se retrouve dans tous les cas avec le calcul d'une primitive d'une fraction rationnelle en t. Exemple :
Si $a \in R$, on cherche $${ \int \frac{\mathrm{d}x}{a^2 + \cos^2 x} }$$.
La forme différentielle étant invariante par le changement de x en $x+\pi$, on pose donc $t = \tan x$. Il vient :

$$\begin{eqnarray*} \int \frac{\mathrm{d}x}{a^2 + \cos^2 x} &=& \int \frac{\mathrm... ... \left[ \left( \frac{a t}{ \sqrt{1+a^2} } \right)^2 +1 \right] } \end{eqnarray*}$$

En posant maintenant $${ u=\frac{a t}{ \sqrt{1+a^2} } }$$, il vient

$$\begin{eqnarray*} \int \frac{\mathrm{d}x}{a^2 + \cos^2 x} = \int \frac{ \frac{ \sqrt{1+a^2} }{a} \mathrm{d}u }{(1+a^2)[1+u^2]} \end{eqnarray*}$$

et finalement

$$\begin{eqnarray*} \int \frac{\mathrm{d}x}{a^2 + \cos^2 x} = \frac{1}{ a \sqrt{1+a^2} } \arctan \frac{a \tan x }{ \sqrt{1+a^2} } \end{eqnarray*}$$