5.4 Zufallsvektoren, Abhängigkeit, Korrelation

Interessiert man sich gleichzeitig für mehrere Zufallsgrößen $X_1,\ldots,X_n$
- z.B. die Kurse verschiedener Aktien - und für ihre wechselseitige Abhängigkeit, so betrachtet man $(X_1, \ldots, X_n)$ als zufälligen Punkt oder Zufallsvektor im $\mathbb{R}^n.$ Die gemeinsame Verteilung der Zufallsgrößen $X_1,\ldots,X_n$, d.h. die Verteilung des Zufallsvektors, wird wie im eindimensionalen eindeutig durch die Wahrscheinlichkeiten

$$\P(a_1 \le X_1 \le b_1, \ldots, a_n \le X_n \le b_n) \, \, , \quad - \infty < a_i \le b_i < \infty \, , \, i=1,...,n \, ,$$

bestimmt. Besitzt der Zufallsvektor $(X_1, \ldots, X_n)$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte $p(x_1, \ldots, x_n)$, so können Wahrscheinlichkeiten wieder als Integrale von $p$ berechnet werden:

$$\P(a_1 \le X_1 \le b_1, \ldots, a_n \le X_n \le b_n) = \int^{b_n}_{a_n} \ldots \int^{b_1}_{a_1} p(x_1, \ldots, x_n) dx_1\ldots dx_n .$$

Die eindimensionalen Verteilungen oder Randverteilungen von $X_j$

$$\P(a_j \le X_j \le b_j)= \int^{\infty}_{-\infty}\ldots\int^{b_j}_{a_j} \ldots \int^{\infty}_{-\infty} p(x_1, \ldots, x_n) dx_1\ldots dx_n$$

erhält man durch Integration der gemeinsame Dichte über die anderen Variablen.

Der intuitive Begriff der Unabhängigkeit zweier Zufallsgrößen $X_1, X_2$ wird präzisiert durch die Forderung, dass

$$\P(a_1 \le X_1 \le b_1, \, a_2 \le X_2 \le b_2) = \P(a_1 \le X_1 \le b_1) \, \cdot \, \P(a_2 \le X_2 \le b_2),$$

d.h. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die von dem Wert des Zufallsvektors $(X_1, X_2)$ abhängen, lassen sich faktorisieren, und es genügt, die eindimensionalen Verteilungen von $X_1$ und $X_2$ zu kennen. Besitzt der Zufallsvektor $(X_1, X_2)$ eine Dichte $p(x_1, x_2)$, so besitzen $X_1$ und $X_2$ ebenfalls Dichten $p_1(x)$ und $p_2(x)$. Die Unabhängigkeit der beiden Zufallsgrößen ist dann gleichbedeutend mit der Faktorisierung der gemeinsamen Dichte:

$$p(x_1, x_2) = p_1(x_1) p_2(x_2)$$

Abhängigkeit zweier Zufallsgrößen $X_1, X_2$ kann in komplizierter Form vorliegen. Sind $X_1, X_2$ gemeinsam normalverteilt, lässt sich der Grad ihrer Abhängigkeit aber auf einfache Weise quantifizieren durch ihre Kovarianz

$$\mathop{\text{\rm Cov}}(X_1, X_2) = \mathop{\text{\rm\sf E}}[(X_1 - \mathop{\text{\rm\sf E}}[X_1])(X_2 - \mathop{\text{\rm\sf E}}[X_2])]$$

oder Korrelation

$$\mathop{\text{\rm Corr}}(X_1, X_2) = {\displaystyle \frac{\mathop{\text{\rm Cov}}(X_1, X_2)}{\sigma (X_1)\ \cdot \, \sigma (X_2) } \, }.$$

Die Korrelation hat den Vorteil, immer zwischen - 1 und + 1 zu liegen und skaleninvariant zu sein. Für gemeinsam normalverteilte Zufallsgrößen ist Unabhängigkeit gleichbedeutend mit Korrelation gleich Null, während vollständige Abhängigkeit gleichbedeutend mit Korrelation + 1 ($X_1$ ist groß, wenn $X_2$ groß ist) oder Korrelation -1 $(X_1$ ist groß, wenn $X_2$ klein ist) ist.

Allgemein gilt für unabhängige Zufallsgrößen $X_1,\ldots,X_n$

$$\mathop{\text{\rm Cov}}(X_i, X_j) = 0 \qquad \text{\rm f\uml ur\ } \, i \not= j \, ,$$

woraus eine nützliche Rechenregel folgt:

$$\mathop{\text{\rm Var}}\big( \sum^n_{j=1} \, X_j \big) = \sum^n_{j=1} \, \mathop{\text{\rm Var}}(X_j) \, .$$

Sind $X_1,\ldots,X_n$ unabhängige Zufallsgrößen, die alle dieselbe Verteilung haben:

$$\P(a \le X_i \le b ) = \P(a \le X_j \le b)$$   für alle $$\, i, j \, ,$$

so nennen wir sie unabhängig identisch verteilt (u.i.v.).