7.5 Itôs Lemma

Ein entscheidendes Hilfsmittel beim Umgang mit stochastischen Differentialgleichungen ist das Lemma von Itô. Ist $ \{ X_t, \, \, t \ge 0 \} $ ein Itô-Prozess:

$\displaystyle dX_t = \mu (X_t, t) dt + \sigma (X_t, t) \, dW_t \, ,$ (7.8)

so interessiert man sich oft für den Verlauf anderer stochastischer Prozesse, die Funktionen von $ X_t$ sind: $ Y_t = g(X_t) \, . $ $ \{ Y_t; \, \, t \ge 0 \} $ lässt sich dann ebenfalls als Lösung einer stochastischen Differentialgleichung beschreiben, und aus dieser Gleichung lassen sich interessierende Eigenschaften von $ Y_t$ wie z.B. das mittlere Wachstum mit der Zeit $ t$ ablesen.

Um die Gleichung für $ \{ Y_t, \, \, t \ge 0\} $ heuristisch herzuleiten, nehmen wir an, dass $ g$ genügend oft differenzierbar ist. Aus der Taylorreihenentwicklung folgt:

$\displaystyle Y_{t+dt} - Y_t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle g(X_{t+dt}) - g(X_t)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle g(X_t + dX_t) - g(X_t)$ (7.9)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{dg}{dX} (X_t) \cdot dX_t + \frac{1}{2} \, \frac{d^2g}{dX^2} (X_t) \cdot (dX_t)^2 + \ldots$  

wobei die Punkte für Terme vernachlässigbarer Größenordnung (für
$ dt \rightarrow 0$) stehen. Die für $ dt \rightarrow 0$ dominanten Terme in $ dX_t$ sind aufgrund der Form des Itô Prozesses (5.8) der Driftterm $ \mu(X_t, t)dt $ von der Größenordnung $ dt$ und der Volatilitätsterm $ \sigma (X_t, t) dW_t $ von der Größenordnung $ \sqrt{dt} $.

Dabei berücksichtigen wir $ \mathop{\text{\rm\sf E}}[(dW_t)^2] = dt, $ so dass $ dW_t = W_{t + dt} - W_t $ von der Größenordnung seiner Standardabweichung, also $ \sqrt{dt} \, , $ ist. Terme von kleinerer Größenordnung als $ dt$ vernachlässigen wir hier bei diesem heuristischen Argument. Daher können wir $ (dX_t)^2 $ durch einen einfacheren Ausdruck ersetzen:

$\displaystyle (dX_t)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\mu (X_t, t) dt + \sigma (X_t, t) \, dW_t)^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \mu ^2 (X_t, t) (dt)^2 + 2 \mu (X_t, t)\ \sigma (X_t, t)\ dt\ dW_t + \sigma ^2 (X_t, t) (dW_t)^2$  

Wir sehen, dass der erste Term von der Größenordnung $ (dt)^2$ ist. Der zweite ist von der Größenordnung $ dt \cdot \sqrt{dt} \, , $ so dass beide vernachlässigt werden können. Der dritte Term hat allerdings die Größenordnung $ dt.$ Genauer kann man zeigen, dass für $ dt \rightarrow 0$

$\displaystyle (dW_t)^2 = dt . $

Mit dieser einfachen Identität lassen sich Rechenregeln für stochastische Differentialgleichungen aus den bekannten Regeln für den Umgang mit deterministischen Funktionen (wie z.B. der Taylorentwicklung) ableiten. Unter Vernachlässigung von Termen kleinerer Größenordnung als $ dt$ erhalten wir so aus (5.9) die folgende Form von Itôs Lemma:

Lemma 7.1 (Itôs Lemma)  
$\displaystyle dY_t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle dg(X_t)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \frac{dg}{dX} (X_t) \cdot \mu (X_t, t) + \frac{1}{2} \, \frac{d^2g}{dX^2} (X_t) \cdot \sigma ^2 (X_t, t) \right) dt$  
    $\displaystyle + \frac{dg}{dX} (X_t) \cdot \sigma (X_t, t) \, dW_t$  

bzw. - durch Weglassen des Zeitindex $ t$ und des Arguments $ X_t$ der Funktion $ g$ und ihrer Ableitungen:

$\displaystyle dg = \left( \frac{dg}{dX} \mu (X,t) + \frac{1}{2} \, \frac{d^2g}{dX^2} \sigma ^2 (X,t)\right) dt + \frac{dg}{dX} \sigma (X,t) dW \, . $

Beispiel 7.1  
Als Beispiel betrachten wir $ Y_t = \ln S_t \, , $ den Logarithmus der geometrischen Brownschen Bewegung. Für $ g(X) = \ln X $ haben wir $ \frac{dg}{dX} = \frac{1}{X} \, , \frac{d^2g}{dX^2} = - \frac{1}{X^2} \, , $ und für die geometrische Brownsche Bewegung ist $ \mu (X,t) = \mu X\ , \, \sigma (X,t) = \sigma \, X\ , $ so dass Itôs Lemma ergibt:
$\displaystyle dY_t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \big( \frac{1}{S_t} \mu \, S_t - \frac{1}{2} \, \frac{1}{S_t^2} \, \sigma ^2 \, S_t^2 \big) dt + \frac{1}{S_t} \cdot \sigma \, S_t \, dW _t$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle ( \mu - \frac{1}{2} \, \sigma ^2) dt + \sigma \, dW_t$  

Der Logarithmus des Aktienkurses ist also ein allgemeiner Wiener-Prozess mit Driftrate $ \mu ^* = \mu - \frac{1}{2} \, \sigma ^2$ und Varianzrate $ \sigma ^2.$ Da $ Y_t \, \, \,$   N$ (\mu ^* t, \, \sigma ^2 t)$-verteilt ist, ist $ S_t$ selbst lognormalverteilt mit Parametern $ \mu ^*t $ und $ \sigma ^2 t\, . $

Eine allgemeine Form von Itôs Lemma für Funktionen $ g(X,t), $ die auch noch von der Zeit $ t$ abhängen dürfen, lautet :

Lemma 7.2 (Itôs Lemma für explizit zeitabhängige Funktionen)  

$\displaystyle dg = \left( \frac{\partial g}{\partial X} \cdot \mu (X,t) + \frac... ...al g}{\partial t} \right) dt + \frac{\partial g}{\partial X} \, \sigma (X,t) dW$ (7.10)

$ Y_t = g (X_t, t) $ ist also wieder ein Itô-Prozess, wobei als zusätzlicher Term in der Driftrate $ \frac{\partial g}{\partial t} (X_t, t) $ auftaucht.