4.1 Arbitragebeziehungen

In diesem Abschnitt betrachten wir den wichtigen Begriff der Arbitragefreiheit. Unter Arbitrage verstehen wir einen risikolosen Gewinn. In einem idealen Finanzmarkt, in dem unter anderem alle Investoren denselben Informationsstand haben und verzögerungsfrei handeln können, sollte es keine Möglichkeiten zur Arbitrage geben. Jeder Investor würde andernfalls versuchen, einen risikolosen Gewinn augenblicklich mitzunehmen. Die dadurch ausgelösten Transaktionen würden ebenfalls augenblicklich die Preise der involvierten Finanzinstrumente so ändern, dass die Arbitragemöglichkeit sofort verschwindet.

Zusätzlich zur Arbitragefreiheit fordern wir in diesem Kapitel, dass der Finanzmarkt einigen weiteren idealisierenden Annahmen genügt, die allerdings in diesem Zusammenhang einen geringeren Stellenwert haben und nur die Argumentation wesentlich vereinfachen. Sind diese Annahmen erüllt, sprechen wir von einem perfekt funktionierenden Finanzmarkt.

ANNAHME (perfekter Finanzmarkt)
Es gibt keine Arbitragemöglichkeiten, keine Transaktionskosten, keine Steuern und keine Einschränkungen beim Short-selling. Soll- und Habenzinsen sind gleich, und alle Wertpapiere sind beliebig teilbar.

Die Annahme eines perfekt funktionierenden Finanzmarktes reicht allein
schon aus, um den Wert von Terminkontrakten und wichtige Beziehungen zwischen den Preisen verschiedener Optionen herzuleiten. Vor allem ist es nicht nötig, ein mathematisches Modell für den Kurs des Finanzinstruments, das Gegenstand der Optionen oder Terminkontrakte ist, zu formulieren. Um den Wert von Optionen zu bestimmen, genügen rein ökonomische Annahmen allerdings nicht mehr, sondern es ist eine detailliertere mathematische Modellierung nötig. Jeder mathematische Ansatz muss sich allerdings an den in diesem Kapitel hergeleiteten Arbitragebeziehungen messen lassen: wenn das Modell zu anderen Ergebnissen bei der Bewertung von Terminkontrakten führt und die aus ihm abgeleiteten Optionspreise nicht den folgenden Relationen genügen, dann beruht es auf falschen Voraussetzungen.

Eine wichtige Folgerung aus der Annahme eines perfekten Marktes und dabei vor allem aus der Arbitragefreiheit, die wir in den folgenden Beweisen immer wieder benutzen, ist die Tatsache, dass zwei Portfolios, die zu einem bestimmten Zeitpunkt $T$ denselben Wert haben, auch zu jedem früheren Zeitpunkt $t < T$ wertgleich sind. Wegen ihrer Bedeutung stellen wir diese Argumentation hier in ihren Einzelheiten vor. Wir gehen von zwei Portfolios $A$ und $B$, die sich aus beliebigen Anlageformen zusammensetzen, aus. Ihr Wert zur Zeit $t$ bezeichnen wir mit $W_A(t)$ bzw. $W_B(t)$. Wir nehmen für einen festen Zeitpunkt $T$ an, dass sicher $W_A(T) = W_B(T)$ unabhängig von der Wertentwicklung der einzelnen, in $A$ und $B$ enthaltenen Anlagen. Für einen beliebigen früheren Zeitpunkt $t < T$ nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $W_A(t) \leq W_B(t)$. Ein Investor kann zur Zeit $t$ ohne Eigenkapitaleinsatz ein kombiniertes Portfolio aufbauen, indem er eine Einheit aller Anlagen in $A$ kauft, eine Einheit aller Anlagen in $B$ verkauft (Short-selling) und den Differenzbetrag $\Delta(t) = W_B(t) - W_A(t) \geq 0$ festverzinslich zum Zinssatz $r$ anlegt. Das kombinierte Portfolio hat zur Zeit $t$ den Wert

$$W_A(t) - W_B(t) + \Delta(t) = 0 ,$$

kostet den Investor also nichts. Zur Zeit $T$ hat der festverzinsliche Anteil des kombinierten Portfolios den aufgezinsten Wert $\Delta(T) = \Delta(t) e^{r (T-t)}$, das Portfolio als Ganzes also sicher den Wert

$$W_A(T) - W_B(T) + \Delta(T) = \Delta(t) e^{r (T-t)} > 0 ,$$

falls $\Delta(t) > 0$. Der Investor hat mit dem kombinierten Portfolio also einen sicheren Gewinn gemacht, ohne ein Risiko einzugehen. Dies ist ein Widerspruch zur angenommenen Arbitragefreiheit, und daher muss $\Delta(t) = 0$ gelten, d.h. $W_A(t) = W_B(t)$.

Diese Argumentation kann nun ausgenutzt werden, um den unbekannten Wert eines Finanzderivats zu bestimmen. Hierzu wird ein Portfolio $A$ zusammengestellt, dass neben Anlagen mit bekanntem Preis auch eine Einheit des Derivats enthält. Diesem Portfolio wird ein zweites, sogenanntes Duplikationsportfolio $B$ gegenübergestellt, das ausschließlich aus Anlagen mit bekanntem Preis besteht und so konstruiert worden ist, dass es zu einem festen Zeitpunkt $T$ sicher denselben Wert wie $A$ hat. Dann folgt aus der Arbitragefreiheit, dass beide Portfolios zu jedem früheren Zeitpunkt wertgleich sind, und daraus ergibt sich sofort der Wert des Finanzderivats zu jedem Zeitpunkt $t \leq T$. Wir illustrieren diese Vorgehensweise am Beispiel eines Terminkontrakts.

Satz 4.1  
Wir betrachten den Terminkauf eines Objekts, das zur Zeit $t$ den Kurs $S_t$ hat. $K$ sei der Terminkurs und $T$ der Zeitpunkt der Fälligkeit. $V(s,\tau)$ bezeichne den Wert des Terminkaufs zur Zeit $t$ als Funktion des aktuellen Kurses $S_t=s$ und der verbleibenden Laufzeit $\tau = T - t$. Wir nehmen an, dass die Zinsen während der Laufzeit gleich einem konstanten Wert $r$ sind.

1. Wirft das zugrundeliegende Objekt während der Restlaufzeit $\tau$ keine Erträge ab und verursacht es auch keine Kosten, so gilt

   $$V(S_t,\tau) = V_{K,T}(S_t,\tau) = S_t - Ke^{-r\tau}$$ (4.1)

   
   
   Der Forward-Preis ist in diesem Fall $F_t = S_t e^{r\tau}$.
2. Fallen während der Restlaufzeit $\tau$ durch das Halten des zugrundeliegenden Objektes zu diskreten Zeitpunkten Erträge oder Kosten an, deren auf den aktuellen Zeitpunkt $t$ abgezinster Gesamtwert $D_t$ ist, so gilt

   $$V(S_t,\tau) = V_{K,T}(S_t,\tau) = S_t - D_t - Ke^{-r\tau}$$ (4.2)

   
   
   Der Forward-Preis ist in diesem Fall $F_t = (S_t - D_t) e^{r\tau}$.
3. Sind mit dem Objekt stetige Bestandshaltekosten mit einer Rate $b$ verbunden, so gilt

   $$V(S_t,\tau) = V_{K,T}(S_t,\tau) = S_t e^{(b-r)\tau} - Ke^{-r\tau}$$ (4.3)

   
   
   Der Forward-Preis ist in diesem Fall $F_t = S_t e^{b\tau}$.

Beweis:
Wir nennen das zugrundeliegende Objekt der Einfachheit halber eine Aktie mit diskreten, auf den Zeitpunkt $t$ abgezinsten Dividenden $D_t$ bzw. mit stetigem Dividendenertrag $d$. Im letzteren Fall sind die stetigen Bestandshaltekosten der Aktie $b = r - d$: der Investor gewinnt durch Halten der Aktie Dividenden (als negative Kosten) mit der Rate $d$, verliert aber gleichzeitig Zinsen mit der Rate $r$, da er sein Kapital in die Aktie anstelle einer festverzinslichen Anleihe gesteckt hat. Statt Aktien können genausogut Anleihen, Devisen oder andere einfache Anlageformen betrachtet werden.

1. Wir betrachten zum Zeitpunkt $t$ zwei Portfolios $A$ und $B$, die folgendes Aussehen haben:

Portfolio $A$:

Terminkauf der Aktie zum Terminkurs $K$, fällig zum Zeitpunkt $T$.
Kauf eines Zerobonds mit Nominalwert $K$, fällig zum Zeitpunkt $T$.

Portfolio $B$:

Kauf einer Aktie

Am Ende der Laufzeit zur Zeit $T$ wird in Portfolio $A$ der Zerobond verkauft. Der Erlös $K$ wird benutzt, um die mit dem Terminkauf eingegangene Verpflichtung zu erfüllen und eine Aktie zum Preis $K$ zu kaufen. Danach enthält Portfolio $A$ eine Aktie und hat somit zur Zeit $T$ denselben Wert wie Portfolio $B$. Daher gilt wegen der vorausgesetzten Arbitragefreiheit zum Zeitpunkt $t$ ebenfalls Gleichheit, also

$$V(S_t,\tau) + Ke^{-r \tau} = S_t \; ,$$ (4.4)

da sich durch Abzinsen als Wert des Zerobonds zur Zeit $t$ gerade $Ke^{-r \tau}$ ergibt. Der Forward-Preis ist nach Definition die Lösung von

$$0 = V_{F_t,T}(S_t,\tau) = S_t - F_te^{-r\tau} .$$

2. Wir betrachten zur Zeit $t$ die beiden Portfolios $A$ und $B$ aus dem ersten Teil des Beweises, ergänzen $B$ aber jetzt um eine Position zu:

Portfolio $B$:

Kauf einer Aktie und leihen eines Geldbetrages in Höhe $D_t$ zum Zinssatz $r$ (= Verkauf eines Zerobonds).

Zur Zeit $T$ werden in Portfolio $B$ die Dividendenerträge der Aktie - im auf die Zeit $T$ aufgezinsten Wert von $D_te^{r\tau}$ - genutzt, um die Anleihe zurückzuzahlen. Damit besteht Portfolio $B$ wie Portfolio $A$ zur Zeit $T$ wieder nur aus einer Aktie, und es ergibt sich wieder Wertgleichheit auch zum Zeitpunkt $t$:

$$V(S_t,\tau) + Ke^{-r \tau} = S_t - D_t \; .$$ (4.5)

Der Forward-Preis ergibt sich dann wie in Teil 1. aus der Definition.

3. Besitzt die Aktie eine stetige Dividendenrendite $d$, kann ähnlich argumentiert werden. Wieder betrachten wir zwei Portfolios $A$ und $B$ zum Zeitpunkt $t$, wobei $A$ wie im ersten Teil des Beweises gewählt wird. Portfolio $B$ hat folgendes Aussehen

Portfolio $B$:

Kauf von $e^{-d\tau}$ Aktien .

Wird der Dividendenertrag in Portfolio $B$ laufend direkt wieder in die Aktie reinvestiert, besteht Portfolio $B$ auch in diesem Fall zum Zeitpunkt $T$ aus genau einer Aktie. Heuristisch sieht man das folgendermaßen: Im Zeitintervall $[t, t+\delta]$ wirft für kleines $\delta$ eine Aktie eine Dividende von approximativ $d \cdot \delta \cdot S_t$ ab, der aktuelle Bestand von $e^{-d\tau} = e^{-d(T-t)}$ Aktien also eine Dividende von $d \cdot \delta \cdot S_t \cdot e^{-d(T-t)}$. Dieser Betrag wird in Aktien reinvestiert. Unter der Annahme, dass sich der Kurs in dem kleinen Zeitintervall $[t, t+\delta]$ nicht wesentlich ändert, d.h. $S_{t+\delta} \approx S_t$ , enthält Portfolio $B$ zur Zeit $t+\delta$ insgesamt

$$(1 + d \cdot \delta ) \cdot e^{-d(T-t)} \approx e^{d\delta} \cdot e^{-d(T-t)} = e^{-d(T-t-\delta)}$$

Aktien. Diese Argumentation kann man mit dem Grenzübergang $\delta \rightarrow 0$ exakt machen und zeigen, dass Portfolio $B$ zu jedem Zeitpunkt $s$ zwischen $t$ und $T$ genau $e^{-d(T-s)}$, für $s=T$ also eine Aktie enthält. Die gleiche Argumentation wie im ersten Teil des Beweises liefert dann die Wertgleichheit der beiden Portfolios $A$ und $B$ zum Zeitpunkt $t$, also

$$V(S_t,\tau) + Ke^{-r\tau} = e^{-d\tau}S_t \; .$$ (4.6)

Mit $b = r - d$ erhalten wir die gewünschte Form. Der Forward-Preis ergibt sich dann wie in Teil 1. aus der Definition. ${\Box}$

Beispiel 4.1   Wir betrachten den Terminkauf einer 5-Jahres Anleihe, die zum Kurs 900 EUR gehandelt wird. Der Terminkurs betrage 910 EUR, die Laufzeit des Terminkontraktes ein Jahr. Kouponzahlungen in Höhe von 60 EUR fallen in 6 bzw. 12 Monaten (letztere kurz vor Fälligkeit des Kontraktes) an. Der stetige Jahreszins für 6 bzw. 12 Monate betrage 9% bzw. 10%. In diesem Fall ist

$$S_t = 900 \;,\; K = 910 \;,\; r = 0.10 \;,\; \tau = 1 \;,\; D_t = 60e^{-0.09\cdot\frac{1}{2}} + 60e^{-0.10} = 111.65$$ (4.7)

Der Wert des Terminkaufs ist dann

$$V(S_t,\tau) = 900 - 111.65 -910 e^{-0.10} = -35.05 .$$ (4.8)

Der Wert der entsprechenden Short-Position ist dann +35.05. Der Forward-Preis $F_t$ beträgt $F_t = (S_t - D_t)e^{r\tau}= 871.26$.

Beispiel 4.2   Wir betrachten den Terminkauf von 1000 Dollar. In diesem Fall liegt ein stetiger Dividendenertrag $d$ in Höhe des amerikanischen Zinssatzes vor, wenn der Investor den Dollarbetrag erwirbt und in den USA anlegt. $r$ sei der inländische Zinssatz. Die Bestandshaltekosten $b = r - d$ sind die Differenz zwischen Inlands- und Auslandszinssatz. Bezeichnet $S_t$ den Dollarkurs, so ist der Forward-Preis dann

$$F_t = S_te^{b\tau} = S_te^{(r - d)\tau} .$$ (4.9)

Für $r > d$ ergibt sich ein Report $S_t < F_t$ (Zinsaufschlag), für $r < d$ ergibt sich ein Deport $S_t > F_t$ (Zinsabschlag). Ist $r > d$ und wählt man den Terminkurs gleich dem aktuellen Kurs, d.h. $K = S_t$, so ist der Wert des Terminkaufs

$$V_{S_t,T}(S_t,\tau) = S_t (e^{-d\tau} - e^{-r\tau}) > 0 .$$

Der Terminkauf zum Preis $S_t$ ist also teurer als der sofortige Kauf zum selben Preis, denn er ermöglicht dem Investor, noch bis zur Zeit $T$ den aktuell höheren Inlandszinssatz auf seine heimische Währung zu nutzen.

Das folgende Resultat besagt, dass es keinen Unterschied zwischen Forward- und Future-Kontrakten mit gleichem Terminkurs und gleicher Laufzeit gibt, wenn der Zinssatz sich über die ganze Laufzeit hinweg nicht ändert. Wir benutzen dabei, dass nach Definition von Forward- und Future-Preis ein Terminkauf nichts kostet, wenn der Terminkurs gleich dem aktuellen Forward- bzw. Future-Preis gewählt wird.

Satz 4.2  
Ist der Zinssatz während der Laufzeit konstant, so stimmen Future- und Forward-Preis miteinander überein.

Beweis:
Wir gehen davon aus, dass der Future-Kontrakt am Tag 0 geschlossen wird und eine Gesamtlaufzeit von $N$ Tagen hat. Wir nehmen an, dass der Gewinn-Verlust-Ausgleich täglich bei einem Tageszinssatz von $\rho$ erfolgt . $F$ bezeichne den Forward-Preis bei Kontraktbeginn, d.h. am Ende des 0-ten Tages, und $F_t$ sei der Future-Preis am Ende des $t$-ten Tages, $t = 0, 1, \cdots, N$. Unser Ziel ist es, $F = F_0$ zu zeigen. Dazu stellen wir wieder zwei Portfolios zusammen:

Portfolio $A$:

Kauf von $e^{N\rho}$ Forward-Kontrakten mit Terminkurs $F$, Laufzeit $N$.
Kauf eines Zerobonds mit Nominalwert $Fe^{N\rho}$ und Fälligkeit in $N$ Tagen.

Portfolio $B$:

Täglicher Zukauf von Future-Kontrakten mit jeweiligem Terminkurs $F_t$ und Fälligkeit zur Zeit $N$ derart, dass am Ende des $t$-ten Tages genau $e^{(t+1)\rho}$ Future-Kontrakte im Portfolio enthalten sind ( $t = 0, 1, \cdots, N$).
Kauf eines Zerobonds mit Nominalwert $F_0e^{N\rho}$ und Fälligkeit in $N$ Tagen.

Der Erwerb der Forward- und Future-Kontrakte ist kostenlos, da er jeweils mit dem Forward- bzw. dem tagesaktuellen Future-Preis als Terminkurs erfolgt. Der Halter von Portfolio $B$ erhält von Tag $t-1$ auf den Tag $t$ durch den Gewinn-Verlust-Ausgleich $F_t - F_{t-1}$ je Future-Kontrakt im Portfolio. Dies kann negativ sein, d.h. er selbst muss zahlen.

Am Ende der Laufzeit, d.h. des $N$-ten Tages, wird in Portfolio $A$ der Ertrag $Fe^{N\rho}$ des Zerobonds benutzt, um den Terminkontrakt zu erfüllen und $e^{N\rho}$ Aktien zum Preis von jeweils $F$ zu kaufen. Das Portfolio $A$ enthält dann nur noch diese Aktien und hat den Wert $S_Ne^{N\rho}$. Wir zeigen nun, dass dies auch für Portfolio $B$ gilt.

Zu Beginn des Tages $t$ sind $e^{t\rho}$ Futures im Portfolio, und der Halter erhält durch den Gewinn-Verlust-Ausgleich den Betrag $(F_t - F_{t-1})e^{t\rho}$, der auch negativ sein kann. Während des Tages stockt er kostenfrei, da mit dem aktuellen Future-Preis als Terminkurs, sein Portfolio um weitere Futures auf, so dass es am Tagesende insgesamt $e^{(t+1)\rho}$ Futures enthält. Der am Tag $t$ eingenommene Betrag hat auf den Fälligkeitstermin aufgezinst den Wert:

$$(F_t - F_{t-1})e^{t\rho}\cdot e^{(N-t)\rho}=(F_t - F_{t-1})e^{N\rho}.$$ (4.10)

Am Ende der Laufzeit ist der Future-Kontrakt durch den laufenden Gewinn-Verlust-Ausgleich bereits erfüllt und verursacht keine weiteren Kosten. Die gesamten während der Laufzeit angefallenen Gewinne oder Kosten sind aufgezinst auf den Tag $N$:

$$\sum_{t=1}^{N}(F_t - F_{t-1})e^{N\rho} = (F_N - F_0)e^{N\rho}.$$ (4.11)

Zusammen mit dem Zerobond hat Portfolio $B$ daher zur Zeit $N$ den Wert

$$(F_N - F_0)e^{N\rho} + F_0e^{N\rho} = F_Ne^{N\rho} = S_Ne^{N\rho} ,$$

da am Ende der Laufzeit Future-Preis $F_N$ und aktueller Kurs $S_N$ offensichtlich zusammenfallen.

Beide Portfolios haben also am Tag $N$ denselben Wert und somit wegen der Arbitragefreiheit auch am Tag 0. Da der Forward-Kontrakt mit Terminkurs $F$ am Tag 0 wegen der Definition des Forward-Preises den Wert 0 hat, ist der Wert von Portfolio $A$ gleich dem Wert des Zerobonds, d.h. $F$ (Nominalwert $Fe^{N\rho}$ abgezinst auf den Tag 0). Entsprechend haben auch die am Ende von Tag 0 in Portfolio $B$ enthaltenen $e^\rho$ Futures wegen der Definition des Future-Preises den Wert 0, so dass auch hier nur der Zerobond zum Portfoliowert beiträgt. Er hat entsprechend den Wert $F_0$ ( $F_0e^{N\rho}$ abgezinst auf den Tag 0). Insgesamt schließen wir $F = F_0$. ${\Box}$

Wir wollen nun mit ähnlichen Methoden Beziehungen zwischen den Preisen für Optionen herleiten. Die elementarsten Eigenschaften fassen wir in der folgenden Bemerkung ohne Beweis zusammen. Dazu benötigen wir den Begriff des inneren Wertes (intrinsic value).

Definition 4.1 (Innerer Wert)  
Der innere Wert einer Kaufoption zum Zeitpunkt $t$ ist gegeben durch $\max(S_t-K,0)$, der einer Verkaufsoption durch $\max(K-S_t,0)$. Ist der innere Wert einer Option positiv, so sagen wir, dass sie im Geld ist. Ist $S_t = K$, so ist die Option am Geld; andernfalls ist die Option aus dem Geld.

Bemerkung 4.1  
Für Optionen gelten folgende elementare Beziehungen. $C(s,\tau) = C_{K,T}(s,\tau)$ und $P(s,\tau) = P_{K,T}(s,\tau)$ bezeichnen dabei den Wert zur Zeit $t$ eines Calls bzw. Puts mit Ausübungskurs $K$ und Verfallszeitpunkt $T$ , wenn $\tau = T - t$ die Restlaufzeit ist und der Kurs des zugrundeliegenden Finanzinstruments den Wert $s$ hat: $S_t=s$.

1. Optionspreise sind nicht-negativ, da eine Ausübung nur stattfindet, wenn es im Interesse des Optionshalters liegt. Eine Option gewährt Rechte ohne Pflichten.
2. Zum Verfallszeitpunkt $T$ besitzen amerikanische und europäische Optionen den gleichen Wert, da sie dann dem Besitzer identische Rechte einräumen. Zum Verfallszeitpunkt $T$ stimmen der Wert der Option und der innere Wert überein:
   $$C_{K,T}(S_T,0) = \max(S_T-K,0) \; , \quad P_{K,T}(S_T,0) = \max(K-S_T,0) .$$

3. Eine amerikanische Option muss mindestens zu ihrem inneren Wert gehandelt werden, da andernfalls durch Kauf einer Option und augenblickliche Ausübung Arbitrage möglich wäre. Diese Relation gilt für europäische Optionen im allgemeinen nicht. Grund hierfür ist, dass eine europäische Option nur indirekt über ein Termingeschäft zum heutigen Zeitpunkt vorzeitig ausgeübt werden kann. Der hierbei auftretende Abzinsungsfaktor kann den Wert unter den inneren Wert der Option drücken.
4. Der Wert zweier amerikanischer Optionen, die sich nur in den Laufzeiten unterscheiden (Verfallszeitpunkte $T_1 \le T_2$), ist monoton in den Laufzeiten:
   $$C_{K,T_1}(s,T_1-t) \leq C_{K,T_2}(s,T_2-t) \; , \quad P_{K,T_1}(s,T_1-t) \leq P_{K,T_2}(s,T_2-t).$$
   Dies folgt - zum Beispiel für Calls - unter Ausnutzung von 2. und 3. aus der zur Zeit $t = T_1$ gültigen Ungleichung mit $s = S_{T_1}$

   $$C_{K,T_2}(s,T_2-T_1) \geq = \max(s-K,0) = C_{K,T_1}(s,0)$$ (4.12)

   
   
   Wegen der Arbitragefreiheit muss die Ungleichung auch zu jedem Zeitpunkt $t \leq T_1$ gelten. Für europäische Optionen ist diese Aussage im allgemeinen nicht erfüllt.
5. Eine amerikanische Option hat mindestens den gleichen Wert wie die ansonsten identische europäische Option, da die amerikanische Option dem Besitzer mehr Rechte einräumt.
6. Der Wert eines Calls ist als Funktion des Ausübungskurses monoton fallend, da das Kaufrecht umso wertvoller ist, je niedriger der vereinbarte Kaufpreis. Entsprechend ist der Wert eines Puts als Funktion des Ausübungskurses monoton wachsend:
   $$C_{K_1,T}(s,\tau) \geq C_{K_2,T}(s,\tau) \; , \quad P_{K_1,T}(s,\tau) \leq P_{K_2,T}(s,\tau)$$
   für $K_1 \leq K_2$. Dies gilt für amerikanische und europäische Optionen.

Der Wert einer europäischen Kauf- und Verkaufsoption auf das gleiche Objekt mit gleicher Laufzeit und gleichem Ausübungskurs sind direkt miteinander verbunden, ohne dass die Annahme eines detaillierten mathematischen Modells nötig ist.

Satz 4.3 (Put-Call-Parität für europäische Optionen)  
Für den Wert eine europäischen Calls und eines europäischen Puts mit gleichem Verfallszeitpunkt $T$, gleichem Ausübungskurs $K$ auf dasselbe zugrundeliegende Finanzinstrument gelten folgende Aussagen, wobei $r$ den stetigen Zinssatz bezeichnet:

1. Fallen während der Restlaufzeit $\tau = T - t$ der Optionen Erträge mit dem auf den Zeitpunkt $t$ abgezinsten Gesamtbarwert $D_t$ an, so ist

   $$C(S_t,\tau) = P(S_t,\tau) + S_t - D_t - K e^{-r\tau}$$ (4.13)

   
   
   SFMPutCall.xpl
2. Fallen während der Restlaufzeit $\tau = T - t$ der Optionen stetige Bestandshaltekosten mit Rate $b$ auf das Objekt an, so ist

   $$C(S_t,\tau) = P(S_t,\tau) + S_t e^{(b-r)\tau} - K e^{-r\tau}$$ (4.14)

   
   

Beweis:
Zur Vereinfachung der Sprechweise nehmen wir wieder speziell an, dass das Objekt eine Aktie ist. Wir betrachten ein Portfolio $A$, das nur aus einem Call besteht, und duplizieren es durch ein geeignetes Portfolio $B$, das unter anderem einen Put enthält.

1. Im Fall diskreter Dividenden betrachten wir folgendes Portfolio $B$ zum Zeitpunkt $t$:

1. Kaufe den Put.
2. Verkaufe einen Zerobond mit Nominalwert $K$, fällig zum Zeitpunkt $T$.
3. Kaufe eine Aktie.
4. Verkaufe einen Zerobond zum (aktuellen) Wert $D_t$.

Da das Portfolio eine Aktie enthält, wirft es Dividenden ab, deren Wert abgezinst auf den Zeitpunkt $t$ gerade $D_t$ ist. Diese Erträge werden am Ende der Laufzeit benutzt, um die Anleihe in Position d) zurückzuzahlen, so dass der Wert dieser Position zu 0 wird. Tabelle 2.1 zeigt nun den Wert des Portfolios $B$ zum Zeitpunkt $T$ abhängig davon, ob der Put ausgeübt wird ( $K \geq S_T$) oder nicht.

Tabelle 2.1: Wert von Portfolio $B$ zum Zeitpunkt $T$ (Satz 2.3)

	Wert zum Zeitpunkt $T$
Position	$K < S_T$	$K \ge S_T$
a)	0	$K - S_T$
b)	$-K$	$-K$
c)	$S_T$	$S_T$
d)	0	0
Summe	$S_T-K$	0

Zur Zeit $T$ hat Portfolio $B$ damit denselben Wert $\max(S_T-K,0)$ wie der Call. Um Arbitragemöglichkeiten zu verhindern, müssen daher beide Portfolios auch zum Zeitpunkt $t$ denselben Wert haben, d.h. es gilt

$$C(S_t,\tau) = P(S_t,\tau) - K e^{-r\tau} + S_t - D_t$$ (4.15)

2. Für den Fall einer Aktie mit stetiger Dividendenrendite $d$ und entsprechenden Bestandshaltekosten $b = r - d$ betrachten wir dasselbe Portfolio $B$ wie in Teil 1., jedoch ohne die Position d). Stattdessen werden in Position c) $e^{-d\tau}$ Aktien anstelle von einer Aktie gekauft, deren Dividenden direkt wieder in die gleiche Aktie reinvestiert werden. Bei negativem $d$ werden die auftretenden Kosten durch Verkäufe des Objektes finanziert. Hierdurch enthält Portfolio $B$ zum Zeitpunkt $T$ genau eine Aktie, und man kann wie in Teil 1. schließen, dass der Wert des Portfolios $B$ zum Zeitpunkt $t$ gleich dem Wert des Calls ist. ${\Box}$

Der Beweis der Put-Call-Parität funktioniert nur für europäische Optionen. Für amerikanische Optionen kann es vorkommen, dass Put oder Call vorzeitig ausgeübt wird und die beiden Portfolios gar nicht bis zum Ende der Laufzeit gehalten werden.

Das folgende Resultat bietet eine Möglichkeit zur Überprüfung der Konsistenz von Optionspreisen auf dasselbe Objekt. Ist die hier formulierte Konvexität verletzt, ist Arbitrage möglich, wie wir in dem sich anschließenden Beispiel zeigen.

Satz 4.4  
Der Preis einer (amerikanischen oder europäischen) Option ist als Funktion des Ausübungskurses konvex.

Beweis:
Es genügt Calls zu betrachten. Für Puts läuft der Beweis analog; für europäische Optionen folgt dies direkt aus der Put-Call-Parität, da dort der explizit von $K$ abhängige Term linear in $K$ ist.

Für $0 \leq \lambda \leq 1$ und $K_1 < K_0$ definieren wir $K_\lambda \stackrel{\mathrm{def}}{=}\lambda K_1 +(1-\lambda)K_0$. Wir betrachten ein Portfolio $A$, das zur Zeit $t < T$ aus einem Call mit Ausübungskurs $K_\lambda$ und Fälligkeitszeitpunkt $T$ besteht. Wir duplizieren dieses Portfolio durch folgendes Portfolio $B$ zum Zeitpunkt $t$:

1. Kaufe $\lambda$ Calls mit Ausübungskurs $K_1$, Fälligkeit $T$.
2. Kaufe $(1 - \lambda)$ Calls mit Ausübungskurs $K_0$, Fälligkeit $T$.

Liquidieren wir das Portfolio zu einem beliebigen Zeitpunkt $t', t \leq t' \leq T$, so lässt sich die Differenz der Werte der Portfolios $B$ und $A$ zu diesem Zeitpunkt in der Tabelle 2.2 ablesen.

Tabelle 2.2: Wertdifferenz der Portfolios $B$ und $A$ zum Zeitpunkt $t'$ (Satz 2.4)

	Wert zum Zeitpunkt $t'$
Position	$S_{t'} \le K_1$	$K_1 < S_{t'} \le K_\lambda$	$K_\lambda < S_{t'} \le K_0$	$K_0 < S_{t'}$
$B$ 1.	0	$\lambda (S_{t'} - K_1)$	$\lambda (S_{t'} - K_1)$	$\lambda (S_{t'} - K_1)$
$B$ 2.	0	0	0	$(1 - \lambda ) (S_{t'} - K_0)$
$- A$	0	0	$-(S_{t'} - K_\lambda)$	$-(S_{t'} - K_\lambda)$
Summe	0	$\lambda (S_{t'} - K_1)$	$(1 - \lambda ) (K_0 -S_{t'})$	0

Da in der letzten Zeile der Tabelle jeweils $\lambda (S_{t'} - K_1) \ge 0$ und $(1 - \lambda )(K_0 -S_{t'}) ) \ge 0$ gilt, ist die Differenz der Werte von Portfolio $B$ und Portfolio $A$ zum Zeitpunkt $t'$ und damit wegen der Arbitragefreiheit auch zum Zeitpunkt $t < t'$ größer gleich Null. Es gilt also mit $\tau = T - t$

$$\lambda C_{K_1,T}(S_t,\tau) + (1 - \lambda )C_{K_0,T}(S_t,\tau) - C_{K_\lambda,T}(S_t,\tau) \ge 0$$ (4.16)

${\Box}$

Beispiel 4.3  
Wir betrachten drei europäische Kaufoptionen auf die MD*TECH A.G. mit gleicher Laufzeit und den Ausübungskursen $K_1 = 190\;,\; K_\lambda = 200 \;,\; K_0 = 220$, d.h. $\lambda = \frac{2}{3}$. Die Daten des Beispiels sind in der Tabelle 2.3 gegeben.

Tabelle: Daten des Beispiels 2.3

Ausübungskurs	Optionspreis
$K_1 = 190$	30.6 EUR
$K_\lambda = 200$	26.0 EUR
$K_0 = 220$	14.4 EUR

Nach dem letzten Satz muss gelten:

$$\textstyle\frac{2}{3} C_{K_1,T}(S_t,\tau) + \textstyle\frac{1}{3} C_{K_0,T}(S_t,\tau) \ge C_{K_\lambda,T}(S_t,\tau)$$ (4.17)

Diese Bedingung ist offensichtlich verletzt, und folgendes Portfolio ermöglicht Arbitrage:

1. Kaufe $\lambda = \frac{2}{3}$ Calls mit Ausübungskurs $K_1$.
2. Kaufe $1- \lambda = \frac{1}{3}$ Calls mit Ausübungskurs $K_0$.
3. Verkaufe 1 Call mit Ausübungskurs $K_\lambda \stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{2}{3} K_1 +\frac{1}{3}K_0$.

Zum jetzigen Zeitpunkt $t$ liefert dieses Portfolio den sicheren Ertrag von +0.80 EUR. Der Wert des Portfolios zum Verfallszeitpunkt $T$ der Optionen ist in der Tabelle 2.4 dargestellt.

Tabelle 2.4: Wert des Portfolios zum Zeitpunkt $T$ im Beispiel 2.3

	Wert zum Zeitpunkt $T$
Position	$S_T \le 190$	$190 < S_T \le 200$	$200 < S_T \le 220$	$220 < S_T$
1.	0	$\frac{2}{3} (S_T - 190)$	$\frac{2}{3} (S_T - 190)$	$\frac{2}{3} (S_T - 190)$
2.	0	0	0	$\frac{1}{3} (S_T - 220)$
3.	0	0	$-(S_T - 200)$	$-(S_T - 200)$
Summe	0	$\frac{2}{3} (S_T - 190)$	$\frac{1}{3} ( 220 -S_T)$	0

Das Portfolio liefert für Aktienkurse $S_T$ zwischen 190 und 220 zusätzlich noch einen Ertrag von maximal $$\frac{20}{3}$$ EUR.

Wir haben bereits angemerkt, dass Optionen monotone Funktionen des Ausübungskurses sind. Der folgende Satz liefert für europäische Optionen eine schärfere Aussage.

Satz 4.5  
Für zwei europäische Calls (bzw. Puts) mit gleichem Verfallsdatum $T$ und den Ausübungskursen $K_1 \leq K_2$ gilt zur Zeit $t \leq T$:

$$0 \le C_{K_1,T}(S_t,\tau) - C_{K_2,T}(S_t,\tau) \le (K_2 - K_1)e^{-r\tau}$$ (4.18)

mit Restlaufzeit $\tau = T - t$ und Zinssatz $r$ bzw.

$$0 \le P_{K_2,T}(S_t,\tau) - P_{K_1,T}(S_t,\tau) \le (K_2 - K_1)e^{-r\tau}$$ (4.19)

Sind die Call- bzw. Putwerte als Funktion des Ausübungskurses differenzierbar, folgt durch Grenzübergang $K_2 - K_1 \rightarrow 0$ auch

$$-1 \le -e^{-r\tau} \le \frac{\partial C}{\partial K} \le 0 \quad 0 \le \frac{\partial P}{\partial K} \le e^{-r\tau} \le 1$$ (4.20)

Beweis:
Wir führen den Beweis für Calls; für Puts ist die Argumentation analog. Hierzu betrachten wir ein Portfolio $A$, das nur einen Call mit Ausübungskurs $K_1$ enthält, und vergleichen es mit einem Duplikationsportfolio $B$, das zum Zeitpunkt $t$ aus den beiden folgenden Positionen besteht:

1. Kaufe einen Call mit Ausübungskurs $K_2$.
2. Kaufe einen Zerobond mit Nominalwert $(K_2 - K_1)$, fällig zum Zeitpunkt $T$.

Die Differenz der Werte der Portfolios $B$ und $A$ zum Zeitpunkt $T$ lässt sich in der Tabelle 2.5 ablesen.

Tabelle: Wertdifferenz der Portfolios $B$ und $A$ zum Zeitpunkt $T$ (Satz 2.5)

	Wert zum Zeitpunkt $T$
Position	$S_{T} \le K_1$	$K < S_{T} < K_2$	$K_2 \le S_{T}$
$B$ 1.	0	0	$S_{T} - K_2$
$B$ 2.	$K_2-K_1$	$K_2-K_1$	$K_2-K_1$
$- A$	0	$-(S_{T} - K_1)$	$-(S_{T} - K_1)$
Summe	$K_2-K_1$	$K_2-S_{T}$	0

Der Wert von Portfolio $B$ zum Zeitpunkt $T$ ist offensichtlich mindestens so groß wie der Wert von Portfolio $A$. Folglich muss dies wegen der Arbitragefreiheit auch für den Zeitpunkt $t$ gelten und wir schließen:

$$C_{K_2,T}(S_t,\tau) + (K_2 - K_1)e^{-r\tau} \geq C_{K_1,T}(S_t,\tau) .$$

${\Box}$